STRATEGIA 0: beztroscy więźniowie polecają jednemu, żeby zgadywał według dowolnej funkcji, a sami będą pasować. Wtedy uratują się w 27 przypadkach (zginą marnie w 54 przypadkach).

STRATEGIA 1:

1. Kto widzi u innych tylko jeden kolor, ten podaje ten sam kolor jako swój;
2. Kto widzi u innych 2 różne kolory, ten podaje pozostały kolor;
3. Kto widzi u innych 3 różne kolory, ten pasuje.

Strategia ta zapewnia przeżycie w 39 przypadkach (śmierć-mogiłę w 42 przypadkach). Czyli jest zdecydowanie lepiej, niż w przypadku strategii beztroskiej.

STRATEGIA 2: jeden więzień będzie zawsze pasował, a pozostali trzej będą jego kapelusz ignorować przy podejmowaniu decyzji, i będą postępować według strategii z Delty, udając, że jest ich tylko trzech. Ponieważ strategia Delty dobrze działała w 15 wypadkach (na 27), to jej adaptacja tutaj będzie działać dobrze w 3*15 = 45 przypadkach (a w 36 sprawa skończy się kiepsko).

UWAGA: Rozumowanie zastosowane przy strategii 2 pokazuje, że zwiększenie liczby więźniów powinno poprawić szansę przetrwania (nigdy nie pogorszyć - bo w najgorszym wypadku adoptuje się strategię dla o jeden mniejszej liczby więźniów).

Podam ograniczenie od góry. Pokażę, że

przy dowolnej strategii więźniowie mogą wygrać nie więcej niż przy 52 konfiguracjach kapeluszy (czyli minimum przy 29 muszą przegrać):

Przy dowolnej strategii, gdy więzień A w konfiguracji (kolorów) kapeluszy nie pasuje, to tak samo odzywa się przy dwóch innych konfiguracjach, które od danej różnią się jedynie kolorem kapelusza więźnia A. Dla dowolnych dwóch konfiguracji, przy których A podaje kolor, odpowiednie trójki albo pokrywają się, albo są rozłączne. Gdy przy kolorowych (niepasujących) odzywkach więźnia A, trafia ten więzień przy a konfiguracjach, to pudłuje minimum przy 2*a konfiguracjach.

Więźnia, który przy danej strategii trafia kolorowo przy maksymalnej liczbę konfiguracji (co znaczy, że nie mniej niż dowolny inny więzień), nazwijmy A, a liczbę konfiguracji, przy których trafia (wywołuje poprawnie) kolor swojego kapelusza oznaczmy przez a. Zatem Liczba z - zwycięskich dla więźniów konfiguracji (przy danej strategii) nie przekracza 4*a (bo więźniów jest 4). Z drugiej strony, więzień A pudłuje minimum przy 2*a konfiguracjach. Zatem liczby a z spełniają zależności:

• z + 2*a  ≤  81
• z   ≤   4*a

Wynika stąd między innymi, że dla a ≥ 14 liczba zwycięstw nie przekracza 53:

• z  ≤  81 -  2*a  ≤  81 - 28 = 53

Natomiast dla a ≤ 13 nie przekracza 4*a ≤ 4*13 ≤ 52. Zatem z nigdy nie przekracza 53, co było do dowiedzenia.

UWAGA: Jeżeli naprawdę istnieje strategia zapewniająca wygraną aż dla 53 konfiguracji, to musi przy niej pewien gracz A trafiać na kolor swojego kapelusza przy dokładnie 14 różnych konfiguracjach (i pudłować przy dokładnie 28 konfiguracjach). Wtedy pudła pozostałych graczy przypadają wyłącznie na (pewne) konfiguracje, przy których pudłuje gracz A. Czy jest to możliwe? Trudno spełnić takie wymagania - więc może te obserwacje prowadzą do obniżenia poniżej 53 kresu górnego dla z?

Strategia 3: Da ona wynik tak samo dobry, jak strategia 2, ale jest od niej różna, bo symetryczna, gdy strategia 2 była silnie asymetryczna. Otrzymamy pozytywny wynik dla 45 konfiguracji. Oto opis strategii 3:

1. gdy więzień u pozostałych 3 nie widzi kapelusza czerwonego, to zgaduje, że ma czerwony;
2. gdy więzień u innych widzi dokładnie jeden czerwony kapelusz, to pasuje;
3. gdy więzień widzi dokładnie 2 czerwone kapelusze, to zgaduje, że ma jedyny kolor różny od koloru każdego z pozostałych kapeluszy;
4. gdy wszystkie 3 pozostałe kapelusze są czerwone, to więzień zgaduje, że też ma czerwony kapelusz.

Powyźsze punkty 1-2 zapewniają wygraną dla 32 konfiguracji; punkt 3 zapewnia 12 konfiguracji; punkt 4 zapewnia 1 konfigurację. W sumie więźniowie wygrają w przypadku 32+12+1 = 45 konfiguracji.