We wzorze na pole trójkąta chodzi oczywiście o wysokość opadającą na podstawę, więc niezależnie od tego który bok weźmiemy za podstawę wartość pola trójkąta będzie taka sama (bo zmienia się też wysokość).

Rozumiem, że to pytanie miało być podchwytliwe?

Choć sposobów liczenia pola

Może być co nie miara,

To liczącego swawola

Nic nie da, bo pole to miara.

Chłop rolny, co zbożem obsiał

Trójkątne pole, miałby zabawę,

Gdyby plon zależał od tego,

Który bok uznał za podstawę.

Istnieje pewien elementarny wzór (nie wymaga żadnej teorii miary - zwykła, elementarna geometria euklidesowa), który pokazuje, że (1/2)*podstawa*wysokość nie zależy od wyboru podstawy trójkąta. Prawie wszyscy absolwenci szkół średnich mają poważną lukę w wykształceniu. Nawet jeżeli słyszeli o wzorze (mało kto), to i tak nie kojarzą, bo nigdy o moim jakże podstawowym pytaniu nawet nie pomyśleli - traktowali jednoznaczność jako coś co... no, wiadomo :-)

Zostało zadane pytanie, cytuję: "Ile jest różnych pół trójkąta i dlaczego?"

Na pierwszą cześć pytania odpowiedź brzmi: jedna.

Na drugą część moja odpowiedź brzmi: z definicji pola powierzczni, które jest miarą, zatem przyporządkowuje każdej (mierzalnej) figurze płaskiej (dokładnie jedną) liczę rzeczywistą nieujemną. 

Nawet jeśli istnieje jakiś wzór, z którego można wywnioskować, że dla trójkąta  0.5ah nie zależy od wyboru a, to moje uzasadnienie jest lepsze jako ogólniejsze, bo działa dla dowolnej figury płaskiej. Pole trójkąta można liczyć na wiele sposobów: 0.5ah, ze wzoru Herona, jako iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego, jest też kilka wzorów korzystających z funkcji trygonometrycznych, itd. Prawdopodobnie nie rozumiem pytania, podobnie jak ww.

(Łatwiej mi pisać w "odpowiedzi" niż w "komentarzu").

Powiedzmy, że nauczyciel powiedział dzieciom, że powierzchnia trójkąta jest równa jednej czwartej sumy dwóch kwadratów:

(1/4) * ((podstawa)² + (wysokość)²)

Zgodnie z argumentacją hamaya, gdy zmienia się podstawa, to zmienia się wysokość, więc powinno być w porządku. Co więcej, gdy podstawa zostanie zastąpiona przez większa, to wysokość przez mniejszą, więc na oko nie jest źle. Jednak wciąż należy wiedzieć, że otrzymamy dokładnie ten sam wynik. W przypadku klasycznego wzoru być może na kilku przykładach trojkątów będzie w porządku. Ale czy dla każdego trójkąta? Dlaczego argument witzara uzasadnia standardową definicję, ale nie powyższą? Nie widzę :-)

Ponadto zupełnie nie jest z miejsca jasnym, że standardowy wzór:

(1/2) * podstawa * wysokość

ma własności, których spodziewamy się po mierze. Weźmy dowolny punkt wewnątrz trójkąta. Połączmy go odcinkami z wierzchołkami trójkąta. Otrzymamy trzy mniejsze trójkąty. Wyjściowy powinien mieć powierzchnię równą sumie powierzechni tych mniejszych. Ale ze wzoru wcale, ale to wcale tego nie widać! W każdym razie jest to dalece nieoczywiste.

Ba, nawet w niby oczywistym przypadku podziału trójkąta na dwa, gdy łączymy wierzchołek nad podstawą z pewnym dowolnym pubnktem podstawy, to biorąc za podstawy inne boki, nie te leżące na oryginalnie wybranej podstawie, znowu wcale nie widać, że pole całości jest sumą pól mniejszych dwóch trójkątów. (Widać to tylko przy traktowaniu jako podstawy oryginalnie wybraną podstawę i jej pododcinki).

Mam nadzieję, że udalo mi się zasiać pewne wątpliwości :-)